Các bài toán về dãy số
I. Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Cách giải. Trước hết cần xác định quy luật của dãy số.
Những quy luật thường gặp là :
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng trước nó nhân ( hoặc chia) với một số TN q khác 0.
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng hai hạng đứng trước nó .
+ Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số TN d cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
Vvv.....
Bài 1. Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...
Lời giải:
a) Nhận xét :
4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...
b) Tương tự phần a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;.....
c) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai là : 3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là : 7 = 3 + 1 + 3
Số hạng thứ tư là : 12 = 7 + 1 + 4......
Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng ( Kể từ số hạng thứ hai ) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số TT của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau :
0 ; 3; 7; 12;18; 25; 33;...
d) Ta nhận xét :
Số hạng thứ hai là: 2 = 1
2
Số hạng thứ ba là : 6 = 2
3
Số hạng thứ tư là : 24 = 6
4
.....
Từ đó rút ra quy luật của dãy số là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau :
1; 2; 6; 24;120; 720; 5040;....
Bài 2 : Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a).....; 17; 19; 21.
b)......: 64; 81; 100.
Biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Lời giải :
a) Ta nhận xét : Số hạng thứ mười là 21 = 2
10 + 1
Số hạng thứ chín là 19 = 2
9 + 1
Số hạng thứ tám là 17 = 2
8 + 1
......
Từ đó suy ra quy luật của dãy số trên là : Mỗi số hạng của dãy bằng 2 nhâ